第四涩涩 汪晓勤｜中华优秀传统数学文化融入初中数学教养的几许道路

“本期推选汪晓勤《中华优秀传统数学文化融入初中数学教养的几许道路》一文。该文发表于《培育研讨与褒贬（中学培育教养）》2022年第6期，并被东说念主大复印贵寓《初中数学教与学》2023年第6期全文转载。同期，本期“正一之数”附有汪晓勤讲授在《培育研讨与褒贬》上发表《中华优秀传统数学文化融入高中数学教养的几许道路》和《中华优秀传统数学文化融入数学教养的几许道路》（小学内容）二文第四涩涩，供读者参考。”

中华优秀传统数学文化

融入初中数学教养的几许旅途

汪晓勤

摘录：让中华优秀传统文化进中小学课程(课本)，不单是是一句标语。中国古代数学有着悠久的历史、光辉的配置和私有的价值取向。其中不乏与中小学数学课程密切干系的内容。从新知引入、问题遐想、认识辨析、定理讲明注解、公式推导以及智育实行六个方面，讲明中国古代数学史上的问题、认识、想想、方法以及东说念主物故事等在初中数学教养中的具体应用。

关节词：中国古代数学史中华优秀传统文化数学文化初中数学

科学史家萨顿(G.Sarton， 1884—1956)说过，科学史是文化史的中枢。在提倡中华优秀传统文化进中小学课程(课本)确当下(1)，中国古代科学史料业已成为盘曲的中小学课程资源。

中国古代数学(以下简称“中算”)有着悠久的历史、光辉的配置和私有的价值取向。十进位值制记数法、分数四则运算、比例算法、平面多边形面积、多面体体积、线性方程组的解法、天元术、开高次方、高次方程数值解、一次同余组的解法……都曾是跨越于寰球的数学佳构，其中不乏与中小学数学课程密切干系的内容。本文试从新知引入、问题遐想、认识辨析、定理讲明注解、公式推导以及智育实行六个方面，讲明中算史上的问题、认识、想想、方法以及东说念主物故事等在初中数学教养中的具体应用。

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新知引入方面

应用中算史料引入新课的神态有问题引入、方法引入、纪律引入等。

关联方程的主题，不错接纳中国古代数学名题来引入。举例，可用学生近朱者赤的“鸡兔同笼”或“僧分馒头”问题来引入二元一次方程，或用《唐阙史》中纪录的沿途“公事员”熟练题来引入：“一位行东说念主傍晚过程一派树林，忽听得林间有东说念主在语言，细听方知是一群窃贼在研讨分赃之事。只听得一个窃贼说：'每东说念主6匹(布)，则多出5匹；每东说念主7匹，则少了8匹。’试问：共有几个窃贼，几匹赃物?”学生之前斗争过雷同的问题，且粗略用算术方法或一元一次方程加以处理。但在只设一个未知数的情况下，呈现数目关系并不浅易，列方程显得很不简便；而引入两个未知数后，用标记语言呈现数目关系就变得一目了然，从而不错揭示多设一个未知数的必要性。

关联几何定理的主题，不错接纳公式或方法来引入。举例，《九章算术》中给出了“圭田”(三角形)的面积公式“半广以乘正从”(半底乘高)。对此，刘徽(约225—约295)的推导方法是“半广知，以盈补虚为直田也”，也等于通过“以盈补虚”(进出相补，如图1所示)，将三角形调停为矩形，从而得到三角形的面积公式。据此，西席不错从《九章算术》中的三角形面积公式开赴，让学生推导公式，从中引出中位线认识，并由此揣摸中位线与底边的位置和大小关系。

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关联有理数运算的主题，不错接纳运算纪律来引入。《九章算术》中的“正负术”给出了有理数的加减运算纪律：作念加法运算时，“异名相除，同名相益”;作念减法运算时，“同名相除，异名相益”。举例，(-5)+(+3)=-(5-3)=-2(异名相除)，(-5)+(-3)=-(5+3)=-8(同名相益)，(+5)-(+3)=+(5-3)=+2(同名相除)，(+5)-(-3)=+(5+3)=+8(异名相益)。可见，正负数相加减，不错通昔时标记后的数相加减，效果再加上一个标记来完成。因此，咱们需要给正数或负数去标记后的数取个名字。由此，不错引出统统值的认识。

02

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问题遐想方面

笔据数学史料编制数学问题的计策，有再现式、情境式、条目式、打算式、对称式、串联式息争放式七种。(2)

再现式指的是径直接纳历史上的问题，除了笔墨翻译之外，原题中的条目和打算保握不变。以《九章算术》为代表的中国古代数学图书时时都是以问题集的时势呈现的，为当天的数学教养提供了丰富多彩的问题。

以二元一次方程组为例，中国古代数学文件纪录了好多典型的二元问题——

盈亏问题。这类问题的解法被《九章算术》列为数学的九个门类之一。举例：“今有共买鸡，东说念主出九，盈一十一；东说念主出六，不足十六。问：东说念主数、鸡价各几何?”程大位(1533—1606)在《算法统宗》中也收录了这类问题。举例：“我问开店李三公，众客都来到店中。一房七客多七客，一房九客一房空。”用今天的代数标记抒发，这类问题波及的方程为

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合成问题。这类问题波及两种不同物资的分量或两种不同商品的价钱的谈论。举例，《九章算术》漠视：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问：玉、石重各几何?”用“盈不足术”处理。再如，《算法统宗》漠视：“今有布绢三十疋，共买价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十。欲问绢布各几何，价钞各该分端的，若东说念主算得无差讹，堪把芳名题郡邑。”将问题归入“方程”类，用今天的代数标记抒发，这类问题波及的方程为

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群物问题。这类问题波及两种物品的价钱、容积的谈论。举例，《九章算术》纪录：“今有大器五、鄙吝一，容三斛；大器一、鄙吝五，容二斛。问：大、鄙吝各容几何?”“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何?”《孙子算经》纪录：“今有兽六首四足，禽二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何?”用今天的代数标记抒发，这类问题波及的方程为

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互给问题。这类问题说的是，已知甲、乙二东说念主互给对方部分钱后各自领有的钱数，求二东说念主原有的钱数。举例，《九章算术》纪录：“今有甲、乙二东说念主握钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问：甲、乙握钱各几何?”用今天的代数标记抒发，这类问题波及的方程为

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(mi、ni∈N*，mi与ni互素，i=1、 2)。

西席不错按照不同类型来登科史料中的问题，行为二元一次方程组的例题或习题。

但在很厚情况下，需要接纳关联计策对古代问题作念相宜的改编，或笔据史料编制全新的问题。

举例，笔据《九章算术》中的“勾股容方”问题(“今有勾五步，股十二步，问勾股容方几何?”)，应用条目式计策和串联式计策，不错遐想对于相似三角形应用的问题：

1.如图2，已知直角三角形的勾和股区别为a和b，求与直角三角形有大家直角的内接正方形的边长。

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2.如图3，已知锐角三角形的底和高区别为a和h，求锐角三角形内接正方形的边长。

3.笔据上题效果，你能用直尺和圆规作出锐角三角形的内接正方形吗?

解放式是笔据史料来设定条目和打算，与其他计策比拟，发扬的空间更大。

举例，刘徽用两种方法讲明注解了《九章算术》中的“勾股容圆”公式(直角三角形的内切圆直径为直角边长乘积的2倍除以直角三角形的周长)。

第一种方法是，从直角三角形的内心开赴，将直角三角形分割成两对小直角三角形和一个小正方形(如图4所示)，用4对相通的小直角三角形各拼成4个长方形，用4个相通的小正方形拼成一个大正方形，再将它们拼成一个长为直角三角形的周长、宽为所求内切圆直径的大长方形。笔据图4，不错遐想如下问题：

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1.已知BD=3，AE=4，求Rt△ACB的面积。

2.已知CD=1，BD=x，AE=y，求(x-1)(y-1)的值。

第二种方法是，过直角三角形的内心作斜边的平行线(如图5所示)，利用相似三角形的性质以及比例的性质求得内切圆的直径。具体地，设CB=a，CA=b，AB=c，内切圆的半径为r，因为Rt△GEO与Rt△ACB相似，故得 r a = GE b = GΟ c ，由等比定律得 r a = r+GE+GΟ a+b+c = b a+b+c ，于是得 r= ab a+b+c 。这里，刘徽利用了论断OG=AG，但莫得讲明为什么这个论断确立。据此，不错遐想以下问题：

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1.如图5，已知O为Rt△ACB的内心，过点O作斜边AB的平行线，区别交AC和BC于点G和H，讲明注解：OG=AG，OH=BH。

2.如图5，在Rt△ACB中，CB=5，CA=12，DH=x，EG=y，已知 x+y= 71 12 ，求x和y。

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认识辨析方面

中算史料在数学教养中也可用于认识的辨析。

举例，对于二元一次方程组是否只可含两个二元一次方程，不同课本的说法不一。咱们不错从刘徽的界说中寻找谜底。刘徽注《九章算术》时指出：“群物总杂，各列稀有，总言其实。令每活动率，二物者再程，三物者三程，王人如物数程之。并排为行，故谓之方程。”笔据刘徽的方程(即今天所说的方程组)界说，二元一次方程组含两个方程——有几个未知数，就有几个方程。也等于说，刘徽界说的方程是适定的。咱们不错沿用刘徽的界说。

刘徽的界说也为咱们揭开了方程中“方”的含义。举例，前述《九章算术》中的牛羊问题(属于物群问题)的方程抒发如图6所示。由于古东说念主书写笔墨(摆算筹)是从上至下、自右而左的，按照咱们今天的写法，等于图7所示的增广矩阵。是以，“方程”抒发的是数目关系，但呈现的是方阵的风景——内容上，当代高级数学中的矩阵正源于方程。

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天然咱们今天神用的大无数数学名词都是西方数学的译名，但也有不少名词源于中国古代数学，不外内涵已发生了变化，如“极少”“幂”之类。

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定理讲明注解方面

平面几何教养中，不错用中国古代数学家的方法讲明注解一些定理。频繁有以下两种情形：

领先，中国古代数学家讲明注解了某个定理，西席在教养中不错用相通的方法讲明注解相通的定理。举例，对于勾股定理，不错用赵爽(约182—约250)的“弦图”或刘徽的“进出相补”方法，区别如图8、下页图9所示。

其次，西席在教养中不错用中国古代数学家讲明注解某个定理的方法讲明注解别的定理。举例，杨辉(约13世纪中世)曾用“勾中容横、股中容直”旨趣(如下页图10，O是矩形ABCD对角线上一丝，过点O区别作一组邻边的平行线PQ、RS，则SOPDS=SOQBR)(3)推导测量日高的公式。西席在教养中不错用相通的旨趣讲明注解三角形一边平行线定理：如图11所示，在△ABC中，已知FG//BC，AD为BC上的高，由“勾中容横、股中容直”旨趣，知S▭FD=S▭FM，S▭GD=S▭GQ，得S▭NI=S▭MR，即FG·AD=BC·AE，有 FG BC = AE AD ，又由 FE BD = EG DC = AE AD 以及勾股定理，可得 AF AB = AG AC 。

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公式推导方面

代数教养中，不错用中国古代数学家习用的方法推导某些公式。

举例，杨辉在《田亩比类乘除捷法》一书中纪录了以下问题与解法(4):(1)“直田积八百六十四步，只云阔不足长十二步，问长阔共几何?术曰：四因积步，以差步自乘，并而开普通除之，得长阔共步。”意旨酷爱是，已知长方形的面积为864步(普通)，长宽之差为12步，求长宽之和；如图12所示，将四个长方形连同以长宽之差为边长的小正方形拼成一个大正方形，其边长即为长宽之和，故得所求长宽之和为 4×864+ 12 2 =60 (步)。(2)“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?术曰：四之积步，减和自乘之积，余，开普通除之，得长阔差步。”意旨酷爱是，已知长方形的面积为864步(普通)，长宽之和为60步，求长宽之差；相通利用图12，可得长宽之差为 60 2 -4×864 =12 (步)。

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这里，杨辉的几何解法内容上对应于解一元二次方程的配方法(该方法不错上溯至赵爽的《〈周髀算经〉注》):如图13所示，若所解方程为x2+px=q，则对方程变形得4x(x+p)=4q，进一步变形得4x(x+p)+p2=p2+4q，即(2x+p)2=p2+4q ，于是原方程的正根为 x= -p+ p 2 +4q 2 ;雷同地，方程x2-px=q的正根为 x= p+ p 2 +4q 2 。

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智育实行方面

中国古代数学家的故事是数学教养中实行智育的联想素材。

举例，教养“普通差公式”时，不错在相通学生用几何方法讲明注解普通差公式后，将学生的方法进行古今对照，指出其中一种方法(如下页图14所示)是三国时间数学家赵爽在在意《周髀算经》时给出的；接着，叙述布衣数学家赵爽“负薪余日，聊不雅《周髀》”的故事，告诉学生：古代数学家为生存而冗忙，却叹气光阴，长途钻研学问，最终取得卓绝配置。

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再如，中国古代数学文件中的一些测量问题是教养“相似三角形应用”的联想素材。早在西汉时分，天体裁家就漠视了一种测量日高的公式——“重差术”。如图15所示，用长度为a的竿子(“表”)在间距为d的两个场所测日影，得影长s1和s2，则日高为 Η=a+ ad s 2 -s 1 。由于地面并非如西汉时分东说念主们想象的那样是“平”的，故用上述公式测日崇高显是错误的。到了三国时分，刘徽将“重差术”用于海岛高度的测量，并著《海岛算经》一书。南宋时分，杨辉在阅读《海岛算经》时，对“重差术”产生了浓厚的风趣。他在《续古摘奇算法》一书中写说念：“辉尝置海岛小图于座右，乃是先贤作法之万一。”(5)不言而谕，杨辉每天对着海岛小图苦想冥想，寻求古东说念主“秘旨”，直到有一天，终于大彻大悟，得回了“重差术”的推导方法。杨辉所据即上文所说的“勾中容横、股中容直”旨趣。利用该旨趣，图15中有两平等面积的矩形，区别相减，即得“重差术”。杨辉的故事，不错让学生看到古代数学家精想发奋于、孜孜以求的探究精神。

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又如，徐光启(1562—1633)翻译《几何原来》的故事是初中平面几何绪言课的好素材。利玛窦(M.Ricci， 1552—1610)在汉译《几何原来》(前六卷)的绪言中说说念：“客秋，乃询西庠举业，余以格物实义应。及谭几何家之说，余为述此书之精，且陈翻译之难及向来中辍状。先生曰：'吾先正有言，一事不知，儒者之耻。仅此一家已失传，为其学者，王人黧黑摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不惜，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之!呜呼!吾遁迹，难自长大，吾迎难，难自消微，必成之。”(6)利玛窦的这段回忆中，咱们看到徐光启那时心中那份千里甸甸的背负感和攻坚克难的弘大勇气。今天的学生完全不错从古代数学家的故事中给与精神的力量。

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结语

以上咱们看到，让中华优秀传统文化进中小学课程(课本)，不单是是一句标语。就数学教养而言，行为传统文化弗成分割的一部分，中算史为西席提供了丰富多彩的素材和想想养料，不错用于多样课型和课堂教养的各个表率。和寰球数学史料所具有的培育价值一样，中算史不错匡助西席构建常识之谐、彰显方法之好意思、营造探究之乐、完了智商之助、展示文化之魅，而在达成智育之效方面更具有私有的上风。

就像一个东说念主的想维神态会打上民族文化的烙迹一样，一个国度的数学培育也绝弗成能脱离本国的历史和文化。诚然，中国古代数学把稳实用，把稳算法，莫得拓荒起我方的演绎体系，但这毫不是咱们数典忘祖、摇尾乞怜的旨趣。中国古代数学文化博大简略，本文所举只是眇乎小哉。咱们有旨趣服气，培育取向的中算史研讨、中算史融入数学教养的实际和评价都将是改日HPM限制的盘曲课题。

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